Momentum en bolsa, un análisis matemático: qué es, por qué funciona y cuándo falla.

¿Qué es el momentum en bolsa?

El momentum es un patrón de precios: las acciones con mejor rendimiento reciente tienden a seguir rindiendo mejor durante los meses siguientes, y las peores tienden a seguir peor.

Eso choca con la hipótesis de mercados eficientes. En su forma débil, esa hipótesis dice que mirar precios pasados no debería alcanzar para ganarle al mercado de forma sistemática. El momentum muestra que sí alcanza, al menos en promedio y con un riesgo particular que veremos más abajo.

No hay que confundirlo con el análisis técnico. El momentum académico no busca soportes ni patrones gráficos: ordena miles de acciones por una sola cifra y apuesta a que el orden se mantiene. Si te interesa por qué el análisis técnico igual puede funcionar, lo expliqué en por qué el análisis técnico funciona, aunque no debería.

¿Cómo se construye una estrategia momentum?

La versión estándar mide el rendimiento de cada acción entre 12 meses y 2 meses atrás, compra las ganadoras y vende las perdedoras, y repite el proceso cada mes.

Escrita como fórmula, la señal de la acción \(i\) en el mes \(t\) es:

Cada pieza de esa fórmula tiene una razón: por qué es un producto y no una suma, por qué empieza en 12 y por qué termina en 2. La sección siguiente la deriva desde cero.

La matemática del momentum, paso a paso

La fórmula multiplica los rendimientos porque así crece una inversión real, y usa la ventana de 12 a 2 meses porque es la única franja donde las ganadoras siguen ganando: en el último mes y a más de un año, los precios tienden a revertirse.

Esta sección explica por qué cada parte de la fórmula es como es, y después la usa para entender de dónde sale la ganancia, cuándo falla y cómo se controla el riesgo. Cada paso se apoya en el anterior, y no hace falta más que álgebra y un poco de probabilidad.

PASO 0Conceptos previos

Cuatro herramientas de probabilidad aparecen en toda la sección. Si ya las conocés, podés saltear este paso.

Esperanza. \(E[X]\) es el valor promedio que toma una variable aleatoria \(X\) si repetimos el experimento muchas veces. Para rendimientos, \(E[r_i] = \mu_i\) es el rendimiento promedio esperado de la acción \(i\). La esperanza es lineal: \(E[aX + bY] = a\,E[X] + b\,E[Y]\).

Varianza. Mide cuánto se aleja \(X\) de su promedio. Su raíz cuadrada, \(\sigma\), es la volatilidad.

Covarianza. Mide si dos variables se mueven juntas. Es positiva si cuando una está por encima de su promedio la otra también tiende a estarlo, y negativa si tienden a moverse en sentidos opuestos.

De la última igualdad sale una identidad que se usa varias veces más adelante: \(E[XY] = \operatorname{Cov}(X,Y) + E[X]\,E[Y]\). Además, la covarianza es lineal en cada argumento, \(\operatorname{Cov}(X, Y + Z)\) es igual a \(\operatorname{Cov}(X,Y) + \operatorname{Cov}(X,Z)\); si \(X\) e \(Y\) son independientes, \(\operatorname{Cov}(X,Y) = 0\); y \(\operatorname{Cov}(X,X) = \operatorname{Var}(X)\).

Autocovarianza. Es la covarianza de una serie consigo misma desplazada en el tiempo: \(\operatorname{Cov}(r_{t-1}, r_t)\). Si es positiva, a un mes bueno le tiende a seguir otro bueno: eso es el momentum. Si es negativa, a un mes bueno le tiende a seguir uno malo: eso es una reversión. Toda la sección gira alrededor del signo de esta cantidad.

Notación: \(P_{i,t}\) es el precio de la acción \(i\) al cierre del mes \(t\), \(D_{i,t}\) los dividendos pagados durante ese mes y \(r_{i,t}\) su rendimiento mensual. \(N\) es la cantidad de acciones del universo. Suponemos que las medias y covarianzas no cambian con el tiempo (estacionariedad): \(E[r_{i,t}] = \mu_i\) para todo \(t\).

PASO 1Del precio al rendimiento

La idea de rendimiento sale del interés compuesto. Si ponés un capital \(C\) a una tasa \(r\) durante un período, al final tenés el capital más el interés:

Con una acción pasa lo mismo, solo que no conocemos la tasa de antemano: la medimos después. Al inicio del mes invertís \(P_{i,t-1}\) pesos comprando una acción. Al final del mes tenés dos cosas: la acción, que ahora vale \(P_{i,t}\), y los dividendos que cobraste, \(D_{i,t}\). El rendimiento \(r_{i,t}\) se define como la tasa que, aplicada al capital inicial, da exactamente lo que tenés al final:

Es la misma ecuación del interés compuesto, con \(C = P_{i,t-1}\) y el monto final igual a precio más dividendos. Despejando \(r_{i,t}\), dividiendo ambos lados por \(P_{i,t-1}\) y restando 1:

El término \(1 + r_{i,t}\) es el factor de crecimiento: si vale 1,05, cada peso invertido se convirtió en 1,05 pesos. Por ejemplo, si la acción valía 100, terminó en 103 y pagó 2 de dividendo, \(100\,(1 + r) = 105\), así que \(r = 5\%\). Se incluyen los dividendos porque a un inversor le importa el rendimiento total. Una acción que cae 2% pero pagó 3% de dividendo le dejó 1% de ganancia.

PASO 2Por qué los rendimientos se multiplican

La señal de momentum tiene que responder una sola pregunta: ¿cuánto ganó esta acción en los últimos once meses? Lo que tenemos son once rendimientos mensuales sueltos, uno por mes, y hay que combinarlos en un único número para poder ordenar las acciones. Hay dos maneras que parecen razonables: sumarlos o multiplicar los factores \(1 + r\). Este paso muestra que la correcta es el producto, y después, por qué la suma, que parece más simple, da un resultado equivocado.

Supongamos que invertís \(W_{t-k}\) pesos y reinvertís todo cada mes. Al final del primer mes tenés \(W_{t-k}(1 + r_{t-k+1})\). Ese monto entero es lo que se invierte el mes siguiente, así que al final del segundo mes tenés \(W_{t-k}(1 + r_{t-k+1})(1 + r_{t-k+2})\). Repitiendo el razonamiento \(k\) veces:

El símbolo \(\prod\) es un producto, igual que \(\sum\) es una suma.

Ahora queremos un solo número que resuma los \(k\) meses: el rendimiento acumulado \(R\). Se define igual que en el paso 1, pero mirando el período completo como si fuera uno solo. Es la tasa que, aplicada una vez al capital inicial, da el capital final:

Despejando, dividiendo por \(W_{t-k}\) y restando 1:

Y reemplazando \(W_t\) por la fórmula de arriba, el capital inicial se cancela:

Que \(W_{t-k}\) se cancele es importante: el rendimiento acumulado no depende de cuánto invertiste, solo de los rendimientos de cada mes. Y esta es exactamente la forma de la señal de momentum, \(MOM = \prod(1 + r) - 1\), tomando los meses de \(t-12\) a \(t-2\). Por ejemplo, con 100 pesos y dos meses de +10% y +5%, terminás con \(100 \times 1{,}10 \times 1{,}05 = 115{,}5\), así que \(R = 115{,}5/100 - 1 = 15{,}5\%\): un poco más que la suma, 15%, porque el 5% del segundo mes se aplica también sobre la ganancia del primero.

Hay una forma de verificar que esto es correcto. Sin dividendos, cada factor \(1 + r\) es un cociente de precios consecutivos, y en el producto cada precio intermedio aparece una vez arriba y una vez abajo, así que se cancela (a esto se le llama producto telescópico):

Las dos cuentas llegan al mismo lugar: el producto de los factores \(1 + r\) es igual al precio final dividido el inicial. O sea, la fórmula de la señal mide exactamente cuánto creció tu dinero, que es la respuesta a la pregunta del principio.

¿Y por qué no sumar? Veamos qué tiene el producto que la suma no tiene. Con dos meses, distribuyendo:

Restando 1, el rendimiento acumulado es \(R = r_1 + r_2 + r_1 r_2\). O sea, el rendimiento real es la suma más un término extra, \(r_1 r_2\). Ese término es el interés sobre el interés: lo que rinde en el segundo mes la ganancia (o la pérdida) del primero. La suma simple lo ignora, así que no es el rendimiento real sino una aproximación, que solo anda bien cuando los rendimientos son chicos y \(r_1 r_2\) es despreciable.

El error importa más en las acciones volátiles. Tomemos una acción que sube un porcentaje \(a\) y después baja el mismo \(a\), con \(r_1 = a\) y \(r_2 = -a\):

La suma dice que la acción quedó igual, pero en realidad perdió \(a^2\). Y ese error crece con el cuadrado de \(a\): cuanto más volátil la acción, más la sobrestima la suma. Con números:

Es la fórmula \(-a^2\) en acción: \(-(0{,}10)^2 = -1\%\) y \(-(0{,}50)^2 = -25\%\). Con la suma, A y B empatan; con el producto, B queda mucho peor, que es lo que le pasó a quien la tuvo. Si la señal de momentum usara la suma, pondría a las acciones volátiles más arriba en el ranking de lo que merecen, y la estrategia compraría perdedoras disfrazadas de ganadoras.

PASO 3La versión con logaritmos

Para calcular la señal, este paso no hace falta: alcanza con el producto del paso 2. Lo incluimos porque vas a encontrar la señal escrita con logaritmos en muchos papers, y conviene entender por qué es lo mismo.

El problema es que los productos son incómodos para hacer estadística. Promedios, varianzas y regresiones, como las del paso 8, están construidos sobre sumas. En el paso 2 vimos que sumar rendimientos simples da un número equivocado. Lo que necesitamos es una transformación que convierta el producto en una suma sin perder exactitud, y eso es justamente lo que hace el logaritmo.

El logaritmo convierte productos en sumas, porque \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\). Definiendo el rendimiento logarítmico \(\ell_{i,t} = \ln(1 + r_{i,t})\) y aplicando esa propiedad muchas veces:

Ojo: el logaritmo cambia los valores. En general \(\ln(1 + R) \neq 1 + R\), y ni siquiera es igual a \(R\), salvo de forma aproximada cuando \(R\) es chico. Entonces, ¿por qué es válido usar \(\ln(1+R)\) como señal en lugar de \(R\)? Porque la señal no se usa por su valor: se usa para ordenar las acciones y armar los deciles (paso 7). Dos señales distintas que producen el mismo orden arman exactamente las mismas carteras. Lo que hay que probar es que el logaritmo preserva el orden.

Primero, que está bien definido. El logaritmo solo existe para números positivos. Como un precio nunca es negativo, una acción puede perder como mucho todo su valor: \(R \geq -1\), y salvo que la empresa quiebre, \(R > -1\). Entonces \(1 + R > 0\) y \(\ln(1 + R)\) existe.

Segundo, que es estrictamente creciente. La derivada del logaritmo es positiva en todo su dominio, es decir, para todo \(x > 0\):

Por el teorema del valor medio, si \(0 \lt x \lt y\), existe un \(c\) entre ambos tal que \(\ln y - \ln x = \frac{1}{c}(y - x)\). Como \(\frac{1}{c} > 0\) e \(y - x > 0\), el producto es positivo: \(\ln y > \ln x\). Es decir, \(x \lt y \Rightarrow \ln x \lt \ln y\).

Tercero, que la vuelta también vale. Si \(\ln x \lt \ln y\), no puede ser \(x = y\) (darían el mismo logaritmo) ni \(x > y\) (por lo anterior daría \(\ln x > \ln y\)). Solo queda \(x \lt y\). Juntando ambas direcciones, y sumando 1 a cada lado, que tampoco cambia el orden:

Con números se ve que los valores cambian pero el ranking no:

Las tres columnas tienen números distintos, pero ordenan igual: A, B, C. Lo que el logaritmo no preserva son las distancias (A le saca 16 puntos a B en \(R\) y 0,137 en logaritmo), pero eso no importa, porque los deciles se arman solo con el orden.

Así que ordenar por el rendimiento acumulado o por la suma de rendimientos logarítmicos da exactamente las mismas carteras. Algunos papers usan la versión con logaritmos porque las sumas son más fáciles de manejar en estadística. Para rendimientos chicos, además, \(\ln(1+r) \approx r\), por lo que la suma de logaritmos se parece a la suma simple, pero no es igual: el logaritmo corrige justamente el error que mostraba la tabla anterior.

PASO 4Un ejemplo completo con números

Una acción tuvo estos rendimientos mensuales. El mes \(t-1\) subió 8%, pero se ignora (el paso 6 explica por qué):

La suma simple daría 24%, que subestima lo que realmente ganó la acción. Con logaritmos, \(\sum \ell = 0{,}2323\), y \(e^{0{,}2323} - 1 = 26{,}15\%\): el mismo resultado por el otro camino. Este número se calcula para cada acción del universo, y lo que se usa es la posición de cada una en el ranking.

PASO 5Por qué la ventana empieza en 12 meses

El signo de la autocovarianza de los rendimientos depende del horizonte. El momentum aparece solo en una franja intermedia:

Por qué no más de 12 meses. De Bondt y Thaler (1985) encontraron que las acciones que más cayeron en los últimos 3 a 5 años rinden después mejor que las que más subieron. Su interpretación es que el mercado sobrerreacciona: lleva los precios demasiado lejos y con el tiempo los corrige. Si la ventana de formación fuera de varios años, la señal mezclaría el momentum (que dice "comprá las ganadoras") con esta reversión larga (que dice "comprá las perdedoras"), y los dos efectos se cancelarían en parte. Doce meses es el horizonte más largo antes de que empiece la reversión.

PASO 6Por qué la ventana termina en t−2

En el otro extremo pasa algo parecido. Jegadeesh (1990) y Lehmann (1990) mostraron que a un mes (y a una semana) los rendimientos tienen autocovarianza negativa: la acción que más subió el mes pasado tiende a bajar un poco el mes siguiente. Si la señal incluyera el mes \(t-1\), estaría premiando acciones que, por este efecto, probablemente bajen justo cuando se las compra.

Parte de esa reversión no tiene nada que ver con lo que piensan los inversores: es un efecto de cómo se registran los precios. Para verlo hay que entender cómo se compra y se vende una acción.

Bid, ask y spread. En el mercado siempre hay gente dispuesta a comprar y gente dispuesta a vender. El bid es el precio más alto que algún comprador ofrece pagar: si querés vender ya, vendés a ese precio. El ask es el precio más bajo al que algún vendedor acepta vender: si querés comprar ya, comprás a ese precio. El ask siempre es un poco más alto que el bid, y la diferencia se llama spread, \(c\). Por ejemplo: bid 99,95, ask 100,05 y spread \(c = 0{,}10\).

El valor "verdadero". Entre el bid y el ask está el punto medio, 100 en el ejemplo. Lo llamamos \(p^*_t\) y lo pensamos como el valor real de la acción en el período \(t\): no es un precio al que alguien opere, sino el centro alrededor del cual se opera. Ese valor cambia solo cuando llega información nueva, como un balance o una noticia.

El precio que queda registrado. El precio de cierre que aparece en los datos es el de la última operación del período. Si esa operación la inició un comprador, se hizo al ask: medio spread por encima del valor verdadero, 100,05. Si la inició un vendedor, se hizo al bid: medio spread por debajo, 99,95. Roll (1984) escribe las dos posibilidades en una sola fórmula, con una variable \(q_t\) que indica quién hizo la última operación:

¿Por qué \(c/2\)? Porque \(p^*_t\) está justo en el centro entre el bid y el ask. Por definición, el spread es la distancia total entre los dos precios, y el valor verdadero es el promedio de ambos:

Restando, la distancia del centro a cada extremo es la mitad del spread:

Es decir, el spread se reparte en partes iguales a cada lado del centro: medio spread hacia arriba lleva al precio de compra (ask = \(p^*_t + c/2\)) y medio spread hacia abajo, al de venta (bid = \(p^*_t - c/2\)). Por eso \(q_t\) solo necesita valer \(+1\) o \(-1\): elige hacia qué lado del centro se movió el precio registrado, y \(c/2\) dice cuánto. No es una varianza, sino una distancia fija, como el radio de un intervalo \([p^* - c/2,\ p^* + c/2]\) de ancho \(c\).

Si \(q_t = +1\), la fórmula da \(p^*_t + c/2\), que es el ask. Si \(q_t = -1\), da \(p^*_t - c/2\), que es el bid. Con los números del ejemplo, \(100 \pm 0{,}05\).

El efecto, sin fórmulas. Supongamos que el valor verdadero se queda quieto en 100 y que la última operación de cada día alterna entre una compra y una venta. Los cierres registrados serían 100,05, 99,95, 100,05, 99,95, y así. Los cambios diarios serían −0,10, +0,10, −0,10: después de cada baja viene una suba, y después de cada suba, una baja.

En la realidad no alterna tan prolijo, pero la idea es la misma: el precio registrado tiene un ruido de \(\pm c/2\) que va y vuelve. El modelo de Roll sirve para medir cuánta reversión falsa produce ese ruido. Para eso supone dos cosas:

• El valor verdadero es un paseo aleatorio. Cada período cambia por el efecto de la información nueva, \(\varepsilon_t\): \(p^*_t = p^*_{t-1} + \varepsilon_t\). Como las noticias no se pueden anticipar, el cambio de un período no dice nada sobre el del siguiente, así que la covarianza entre cambios \(\Delta p^*_t = \varepsilon_t\) de períodos distintos es cero. El supuesto está elegido a propósito: si el valor verdadero no tiene ninguna reversión, cualquier reversión que aparezca en la cuenta tiene que venir del spread.
• Quién opera último es como tirar una moneda. \(q_t\) vale \(+1\) o \(-1\) con probabilidad \(1/2\) cada uno, sin importar qué pasó en períodos anteriores ni qué noticias hubo. Que el cierre de ayer haya sido una compra no dice nada sobre si el de hoy lo será.

Con estos supuestos se puede calcular la covarianza entre el cambio de precio de hoy y el de ayer. Da \(-c^2/4\): negativa, aunque el valor real no tenga ninguna reversión. La cuenta completa está en el desplegable; abajo va lo mismo con un ejemplo.

El ejemplo. La acción X no cambia nunca de valor: vale 100 todo el tiempo. En el mercado se compra a 100,05 (ask) y se vende a 99,95 (bid). El precio de cierre de cada mes es el de la última operación, que a veces fue una compra y a veces una venta.

En los datos, X "subió" en abril y "bajó" en mayo. Pero la empresa no cambió: es solo el precio rebotando entre 99,95 y 100,05.

Ahora armás la cartera el 1 de mayo.

• Sin saltear abril: la señal incluye la "suba" de abril, así que X aparece un poco más ganadora de lo que es. La comprás, y en mayo "baja" 0,10. Perdés justo la suba falsa que te hizo elegirla.
• Salteando abril: la señal mira hasta fin de marzo. La suba falsa de abril no influye en si elegís X o no. En mayo puede rebotar para arriba o para abajo, pero eso ya no tiene relación con por qué la elegiste.

Con miles de acciones, sin saltear el mes la estrategia elige de más las que tuvieron una suba falsa al final, y esas después bajan. Salteando el mes, ese ruido deja de influir en la elección, y en promedio se cancela.

Cómo leer el gráfico de la derecha. Los puntos no se acumulan de un lado: hay tantos meses en que el precio subió como en que bajó. Lo que importa es cómo se combinan los cambios de ayer y de hoy. Contando los puntos de cada cuadrante:

Hay más puntos en las dos esquinas "cruzadas" (242) que en las dos "iguales" (158). O sea: es más común que el cambio de hoy vaya en sentido contrario al de ayer que en el mismo sentido. Eso es lo que significa una covarianza negativa, y por eso la recta baja de izquierda a derecha.

Una aclaración honesta. Este efecto del spread es chico, de centavos, y pesa sobre todo en acciones chicas y poco líquidas, donde el spread es más grande. La razón principal para saltear el mes es la reversión real de un mes que documentó Jegadeesh (1990), que también tiene otras causas, como un inversor grande que necesita efectivo, vende rápido y baja el precio por unos días. El modelo de Roll es solo una de esas causas: la más fácil de demostrar con matemática.

PASO 7Armar la cartera

Cada mes \(t\) se calcula \(MOM_{i,t}\) para todas las acciones, se las ordena de mayor a menor y se las divide en diez grupos del mismo tamaño, llamados deciles. Sea \(\mathcal{W}_t\) el conjunto de acciones del decil más alto (ganadoras) y \(\mathcal{L}_t\) el del más bajo (perdedoras); \(|\mathcal{W}_t|\) es la cantidad de acciones que tiene. Si cada acción pesa lo mismo, el rendimiento de cada cartera en el mes siguiente es el promedio de sus acciones:

La alternativa más común es ponderar por capitalización: cada acción pesa \(w_i = ME_i / \sum_{j} ME_j\), donde \(ME\) es su valor de mercado (precio por cantidad de acciones) y la suma recorre las acciones de su decil. Así una empresa grande pesa más, como en el S&P 500.

La estrategia compra las ganadoras y vende en corto las perdedoras. Vender en corto significa pedir prestada una acción, venderla hoy y recomprarla más adelante para devolverla: se gana si el precio baja. El rendimiento de la estrategia, que se llama WML (Winners Minus Losers, ganadoras menos perdedoras), es la diferencia:

Qué es un peso. El peso de una acción es qué fracción de tu capital ponés en ella. Si tenés 1.000 pesos y ponés 100 en una acción, su peso es \(100/1000 = 0{,}1\), o sea 10%. Un peso positivo significa que la comprás; un peso negativo, que la vendés en corto.

El rendimiento de una cartera es el promedio de los rendimientos de sus acciones, ponderado por sus pesos: \(r_{\text{cartera}} = \sum_i w_i\, r_i\). Si una acción pesa 10% y sube 5%, aporta \(0{,}10 \times 5\% = 0{,}5\%\) a la cartera.

De dónde sale \(1/|\mathcal{W}_t|\). \(|\mathcal{W}_t|\) es la cantidad de acciones del decil ganador. Si repartís el capital en partes iguales entre ellas, cada una recibe una fracción \(1/|\mathcal{W}_t|\). Con 50 ganadoras, cada una pesa \(1/50 = 2\%\). Por eso el promedio simple de la fórmula de arriba es lo mismo que una suma con esos pesos:

Con las perdedoras pasa lo mismo, pero con signo menos, porque se venden en corto: cada una pesa \(-1/|\mathcal{L}_t|\). Así, la estrategia completa es una sola suma sobre todas las acciones:

Un ejemplo chico. Con 2 ganadoras y 2 perdedoras, y 1.000 pesos:

Fijate en C: cae 4%, pero como está vendida en corto, su aporte es \((-1/2)\times(-4\%) = +2\%\). Ganás cuando una perdedora sigue perdiendo. D, en cambio, sube 2% y te hace perder 1%. El resultado, +5%, es lo mismo que la fórmula \(r_{\mathcal{W}} - r_{\mathcal{L}}\): las ganadoras rindieron en promedio +4%, las perdedoras −1%, y \(4\% - (-1\%) = 5\%\).

Por qué los pesos suman cero. Sumando todos los pesos: \(\tfrac12 + \tfrac12 - \tfrac12 - \tfrac12 = 0\). En general, como los dos deciles tienen la misma cantidad de acciones, las compras suman \(|\mathcal{W}_t|\cdot\frac{1}{|\mathcal{W}_t|} = 1\) y las ventas, \(-1\). En plata: los 1.000 pesos que conseguís vendiendo en corto C y D son los que usás para comprar A y B. Por eso se dice que es una cartera de costo cero.

Por qué su rendimiento ya es "en exceso". La tasa libre de riesgo, \(r_f\), es lo que ganás sin correr ningún riesgo, por ejemplo con letras del Tesoro de EE.UU. a corto plazo. Es la vara mínima: si invertís en acciones y ganan 10% cuando las letras pagan 4%, lo que ganaste por elegir acciones es \(10\% - 4\% = 6\%\). Esa diferencia se llama rendimiento en exceso, y es la forma habitual de medir cuánto paga el riesgo.

El 4% se resta porque es lo que dejaste de ganar por poner tu plata en acciones en vez de en letras. En WML no ponés plata propia, así que no dejaste de ganar nada. Dicho con fórmulas, \(r_f\) aparece en las dos patas y se cancela:

Por eso la diferencia entre ganadoras y perdedoras ya es un rendimiento en exceso, y no hay que restarle nada. En la práctica, el broker exige dejar una garantía para vender en corto, así que "costo cero" es una simplificación teórica, pero es la que se usa en los papers para comparar estrategias.

Mantener la cartera varios meses. Hasta acá armamos la cartera y la mirábamos un mes. Pero la señal de momentum no predice solo el mes siguiente: las ganadoras tienden a seguir ganando durante varios meses. Por eso Jegadeesh y Titman probaron mantener cada cartera durante \(K\) meses (3, 6, 9 o 12) antes de rearmarla. Eso trae un problema.

El problema: el mes de inicio cambia el resultado. Supongamos \(K = 3\): se arma la cartera, se la deja quieta 3 meses y se la rearma. Si arrancás en enero, rearmás en enero, abril, julio y octubre. Si arrancás en febrero, rearmás en febrero, mayo, agosto y noviembre. Son dos estrategias con la misma regla pero carteras distintas, porque el ranking de acciones de enero no es el mismo que el de febrero, y van a dar resultados distintos.

Entonces, si un paper reporta que la estrategia rindió 1% mensual, ¿es porque el momentum funciona, o porque eligió el mes de arranque que mejor salió? Con un solo calendario de rebalanceo no se puede saber. Además, el resultado quedaría a merced de lo que pasó justo en esos meses: si en abril hubo un rebote fuerte, el calendario que rearma en abril sufre y el que rearma en mayo no.

La solución: usar todos los calendarios a la vez. Con \(K = 3\) hay exactamente tres calendarios posibles, y cualquier mes de inicio cae en uno de ellos:

Cada calendario es una cadena de carteras de 3 meses, una detrás de la otra, que sigue año tras año. En vez de elegir uno, se usan los tres juntos, cada uno con un tercio del capital. En la práctica eso significa que cada mes se arma una cartera nueva con el ranking de ese mes y se la mantiene 3 meses, así que en cualquier mes conviven tres carteras, y siempre son una de cada calendario. En mayo, por ejemplo, están activas la armada en marzo (calendario C), la de abril (A) y la de mayo (B).

El rendimiento del mes es el promedio de las \(K\) carteras activas:

La suma recorre las carteras armadas este mes (\(k = 0\)), el mes pasado (\(k = 1\)) y así hasta \(K-1\) meses atrás. Cada una pesa \(1/K\).

Esto resuelve el problema: el resultado ya no depende de un mes de inicio elegido, porque es el promedio de todos los calendarios posibles. Y trae una ventaja práctica: cada mes solo se rearma la cartera que vence, o sea \(1/K\) del capital, en lugar de toda la cartera de golpe. Eso reduce la rotación y, por lo tanto, los costos de transacción.

PASO 8¿De dónde sale la ganancia?

Ya sabemos cómo armar la estrategia. La pregunta siguiente es por qué gana. Lo y MacKinlay (1990) respondieron descomponiendo matemáticamente la ganancia esperada. Para que las cuentas salgan limpias, usan una versión continua de WML: en lugar de comprar solo el decil de arriba, cada acción pesa según cuánto le ganó al promedio del mercado el período anterior.

Primero, el promedio del mercado. \(\bar r_t\) es el rendimiento promedio de las \(N\) acciones del universo en el mes \(t\): se suman todos los rendimientos y se divide por cuántas acciones hay.

Con eso se define el peso de cada acción:

• \(r_{i,t-1} - \bar r_{t-1}\) es cuánto le ganó la acción \(i\) al promedio del mercado el mes pasado.
• El \(\frac{1}{N}\) solo achica ese número. Ojo: el peso no es un promedio. No hay ninguna suma, así que no se promedia nada: cada acción tiene su propia diferencia y su propio peso. En \(\bar r_t\), en cambio, el \(\frac{1}{N}\) acompaña a una suma, y ahí sí promedia.

Por ejemplo, con 4 acciones que rindieron +6%, +2%, −1% y −3%, el promedio es 1%. La primera le ganó al promedio por 5%, así que su peso es \(5\%/4 = 1{,}25\%\).

Una acción que le ganó al promedio tiene peso positivo (se compra) y una que perdió contra el promedio tiene peso negativo (se vende). Los pesos suman cero, igual que en WML. Veámoslo paso a paso, sumando los pesos de las \(N\) acciones.

(1) Reemplazamos cada peso por su definición:

(2) El \(\frac{1}{N}\) es el mismo en todos los términos, así que sale de la suma como factor común:

(3) La suma de una resta es la resta de las sumas:

(4) \(\bar r_{t-1}\) no depende de \(i\): es el mismo número para todas las acciones. Sumarlo \(N\) veces da \(N\bar r_{t-1}\):

(5) Por la definición de promedio, \(\bar r_{t-1} = \frac{1}{N}\sum_i r_{i,t-1}\). Multiplicando ambos lados por \(N\), queda \(\sum_i r_{i,t-1} = N\bar r_{t-1}\). Reemplazando:

Los pesos suman cero porque las diferencias contra un promedio siempre se compensan: lo que unas acciones están por encima, otras están por debajo. Con el ejemplo de antes, los pesos son 1,25%, 0,25%, −0,50% y −1,00%, y suman cero. Es decir, lo que se compra se financia con lo que se vende.

La ganancia, paso a paso. La ganancia de la estrategia en el mes \(t\), que llamamos \(\pi_t\) (por profit), es el rendimiento de la cartera: cada acción aporta su peso por lo que rindió, igual que en el paso 7.

(1) Reemplazamos cada peso por su definición:

(2) El \(\frac{1}{N}\) es el mismo en todos los términos, así que sale de la suma como factor común:

(3) Distribuimos el producto, \((a - b)\,c = ac - bc\), y separamos la suma en dos, porque la suma de una resta es la resta de las sumas:

(4) \(\bar r_{t-1}\) es el promedio del mes pasado: un solo número, igual para todas las acciones. Como no depende de \(i\), sale de la segunda suma:

(5) \(\frac{1}{N}\sum_i r_{i,t}\) es exactamente la definición de \(\bar r_t\), el promedio de este mes. Reemplazando:

Verificación con números. Las 4 acciones del ejemplo rindieron el mes pasado +6%, +2%, −1% y −3% (promedio 1%), y este mes +3%, +1%, 0% y −2% (promedio 0,5%). Por la definición, con pesos 1,25%, 0,25%, −0,5% y −1%:

Por la fórmula final:

Las dos dan 0,06%. El número es chico porque los pesos de esta estrategia son chicos, pero lo que importa es que coinciden. Esta forma sirve porque la ganancia quedó escrita con productos de rendimientos, y la esperanza de un producto se puede escribir con covarianzas.

Ahora tomamos esperanza y usamos \(E[XY] = \operatorname{Cov}(X,Y) + E[X]E[Y]\) en cada producto. Para escribirlo de forma compacta, llamamos \(\Gamma\) a la matriz de autocovarianzas, cuyo elemento \((i,j)\) es \(\Gamma_{ij} = \operatorname{Cov}(r_{i,t-1}, r_{j,t})\): cuánto el rendimiento de la acción \(i\) del mes pasado predice el de la acción \(j\) este mes. Para el primer término:

Para el segundo término hace falta \(\operatorname{Cov}(\bar r_{t-1}, \bar r_t)\), la covarianza entre el promedio del mercado del mes pasado y el de este mes. La derivamos en cinco pasos, probando cada propiedad desde la definición \(\operatorname{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]\,E[Y]\).

(1) Reemplazar los promedios por su definición. Se usan índices distintos, \(i\) y \(j\), porque son dos sumas independientes:

(2) Sacar las constantes. Para constantes \(a\) y \(b\), por la linealidad de la esperanza:

Con \(a = b = \frac{1}{N}\):

(3) Distribuir la covarianza sobre las sumas. Llamamos \(X_i = r_{i,t-1}\) e \(Y_j = r_{j,t}\). La clave es que el producto de dos sumas es la doble suma de todos los productos:

Aplicándolo a la definición de covarianza:

• Primera igualdad: es la definición de covarianza.
• Segunda: el producto de sumas pasa a doble suma, y la esperanza de una suma es la suma de las esperanzas.
• Tercera: la esperanza entra en la doble suma, y el producto de las dos sumas de esperanzas también pasa a doble suma.
• Cuarta: las dos dobles sumas recorren los mismos pares \((i,j)\), así que se juntan en una.
• Quinta: lo de adentro del paréntesis es, por definición, \(\operatorname{Cov}(X_i, Y_j)\).

(4) Reconocer \(\Gamma_{ij}\). Por definición, \(\operatorname{Cov}(r_{i,t-1}, r_{j,t}) = \Gamma_{ij}\). Juntando con el paso 2:

Son \(N \times N\) términos: cada acción del mes pasado combinada con cada acción de este mes. Los de la diagonal, \(\Gamma_{ii}\), son cada acción consigo misma; los de afuera, \(\Gamma_{ij}\) con \(i \neq j\), son cruzados.

(5) Escribirlo con matrices. Sea \(\iota\) el vector de \(N\) unos. La componente \(i\) del vector \(\Gamma\iota\) es \((\Gamma\iota)_i = \sum_j \Gamma_{ij}\,\iota_j = \sum_j \Gamma_{ij}\). Multiplicando a izquierda por \(\iota^\top\):

Con un ejemplo de \(N = 3\). El vector de unos y su transpuesto son:

\(\iota^\top\) es el mismo vector "acostado": la \(\top\) significa transponer, pasar de columna a fila. Tomemos una matriz cualquiera de ejemplo:

Sumando a mano todos sus elementos, fila por fila: (2 + 1 + 0) + (3 + 4 + 1) + (0 + 2 + 5) = 18.

Primero, \(\Gamma\iota\) suma cada fila. Al multiplicar una matriz por un vector, cada componente del resultado es una fila de la matriz multiplicada término a término por el vector, y sumada. Como el vector es todo unos, multiplicar por 1 no cambia nada, y queda solo la suma de la fila:

Eso es lo que dice \((\Gamma\iota)_i = \sum_j \Gamma_{ij}\): la componente \(i\) es la suma de la fila \(i\).

Después, \(\iota^\top(\Gamma\iota)\) suma esos resultados. Una fila por una columna da un solo número: se multiplica término a término y se suma. Otra vez, multiplicar por 1 no cambia nada:

O sea, \(\iota^\top\Gamma\iota\) es la suma de todos los elementos de la matriz, y queda:

En palabras: la covarianza entre el promedio del mercado de ayer y el de hoy es el promedio de todas las covarianzas posibles entre una acción de ayer y una de hoy.

Falta la parte de las medias. Por la estacionariedad, \(E[\bar r_{t-1}] = E[\bar r_t] = \frac1N\sum_i \mu_i = \bar\mu\). Usando otra vez \(E[XY] = \operatorname{Cov}(X,Y) + E[X]\,E[Y]\):

Juntando ambos términos:

Faltan dos reordenamientos. Son independientes, y el objetivo de los dos es el mismo: reagrupar los cuatro términos según lo que significan económicamente.

Reordenamiento 1: \(\frac{1}{N}\sum_i \mu_i^2 - \bar\mu^2\) es una varianza. Lo que se quiere mostrar es:

El problema es que, en el lado izquierdo, \(\bar\mu^2\) no está dentro de ninguna suma: es un número suelto. Para juntarlo con el primer término, hay que escribirlo también como una suma.

Una suma puede tener adentro algo que no depende de \(i\). \(\sum_{i=1}^{N} c\) quiere decir "sumá \(c\), \(N\) veces":

El índice \(i\) solo cuenta cuántas veces se suma; no hace falta que aparezca adentro. Si después dividís por \(N\), volvés a \(c\):

Con números: si \(\bar\mu = 2\), entonces \(\bar\mu^2 = 4\), y con \(N = 3\), \(\frac{1}{3}(4 + 4 + 4) = 4\). Es el mismo 4, escrito de otra forma.

Aplicado a la ecuación. El término es \(-\bar\mu^2\), un número suelto con signo menos. No lo movemos a la suma que ya existe: lo reescribimos con una expresión que vale exactamente lo mismo.

Para llegar al cuadrado \((\mu_i - \bar\mu)^2\) hace falta un paso más: escribir \(-\bar\mu^2\) como \(-2\bar\mu^2 + \bar\mu^2\), que vale lo mismo, y pasar cada pedazo a una suma.

• \(2\bar\mu^2 = 2\bar\mu\cdot\bar\mu\), y por la definición de promedio, \(\bar\mu = \frac{1}{N}\sum_i\mu_i\). Como \(2\bar\mu\) no depende de \(i\), entra a la suma: \(2\bar\mu^2 = \frac{1}{N}\sum_i 2\mu_i\bar\mu\).
• \(\bar\mu^2 = \frac{1}{N}\sum_i\bar\mu^2\), por lo que acabamos de ver.

Ahora los tres términos tienen la forma \(\frac{1}{N}\sum_i(\ldots)\), y dos sumas sobre el mismo rango de \(i\) se juntan en una, porque \(\sum_i a_i - \sum_i b_i = \sum_i(a_i - b_i)\):

Lo de adentro es un cuadrado de binomio, \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\):

Es la identidad \(\operatorname{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2\) del paso 0, aplicada a las medias de las acciones. Mide qué tan distintas son las medias entre acciones, no cómo varía una acción en el tiempo, y la llamamos \(\sigma^2_\mu = \frac1N\sum_i(\mu_i - \bar\mu)^2\).

Reordenamiento 2: separar la diagonal de \(\Gamma\). Partimos otra vez de la ganancia esperada con sus cuatro términos:

(1) Nombrar la traza. La traza de una matriz es, por definición, la suma de su diagonal:

Así que el primer término es \(\frac{1}{N}\operatorname{tr}(\Gamma)\).

(2) Juntar las medias. El segundo y el cuarto término son los únicos que tienen medias. Juntos forman \(\frac{1}{N}\sum_i\mu_i^2 - \bar\mu^2\), que por el reordenamiento 1 es \(\sigma^2_\mu = \frac{1}{N}\sum_i(\mu_i - \bar\mu)^2\): la varianza de las medias entre acciones. No mide cómo varía una acción mes a mes, sino qué tan distintas son las acciones entre sí en su rendimiento esperado. Queda:

(3) Partir la doble suma en diagonal y resto. Sabemos que \(\iota^\top\Gamma\iota = \sum_i\sum_j\Gamma_{ij}\). Para cada fila \(i\) fija, la suma sobre \(j\) recorre todas las columnas, y una de ellas es \(j = i\). Separando ese término:

Sumando esa igualdad sobre todas las filas \(i\):

El primer término de la derecha es la traza. Al segundo lo escribimos \(\sum_{i \neq j}\Gamma_{ij}\): la suma de todos los elementos que no están en la diagonal. Entonces \(\iota^\top\Gamma\iota = \operatorname{tr}(\Gamma) + \sum_{i \neq j}\Gamma_{ij}\), y despejando:

O sea, \(\iota^\top\Gamma\iota - \operatorname{tr}(\Gamma)\) no es una resta arbitraria: es la suma de los elementos de afuera de la diagonal.

(4) Reemplazar en \(E[\pi_t]\). Ponemos \(\iota^\top\Gamma\iota = \operatorname{tr}(\Gamma) + \sum_{i \neq j}\Gamma_{ij}\) en el segundo término y repartimos el \(-\frac{1}{N^2}\):

(5) Sacar la traza de factor común. Los dos primeros términos tienen \(\operatorname{tr}(\Gamma)\). Llevando a común denominador, \(\frac{1}{N} = \frac{N}{N^2}\):

Volviendo a escribir \(\sum_{i \neq j}\Gamma_{ij}\) como \(\iota^\top\Gamma\iota - \operatorname{tr}(\Gamma)\), queda la descomposición de Lo y MacKinlay. Antes, la diagonal estaba repartida entre dos términos con signos opuestos; ahora cada parte de \(\Gamma\) aparece en un solo lugar:

Por qué la propia suma y la cruzada resta. Con dos acciones, A y B, cada casillero de \(\Gamma\) dice si lo que pasó el mes pasado con una acción predice lo que pasa este mes con otra, o con la misma. La matriz \(\Gamma\) es:

La diagonal es cada acción consigo misma; afuera de la diagonal, una acción con otra. Como el peso de cada acción es su rendimiento pasado menos el promedio, \(w_{i,t} = \frac{1}{N}(r_{i,t-1} - \bar r_{t-1})\), los dos tipos de casillero empujan en sentidos opuestos:

• \(+\Gamma_{ii}\), la autocovarianza propia. El peso de la acción \(i\) sube cuando subió su propio rendimiento pasado. Si ese rendimiento pasado predice su rendimiento futuro, se le pone más peso justo cuando va a rendir más. Entra sumando.
• \(-\Gamma_{ji}\), la covarianza cruzada. El peso de \(i\) baja cuando sube el promedio pasado, porque se compara contra él. Si el pasado de otra acción \(j\) predice que \(i\) suba, entonces cuando a \(j\) le fue bien, el promedio subió, el peso de \(i\) bajó... y justo ahí \(i\) sube. Se le pone menos peso justo cuando va a rendir más. Entra restando.

Esta es la descomposición de Lo y MacKinlay. Dice que la ganancia esperada sale de tres fuentes, y cada una corresponde a una de las teorías del debate:

El último término nunca es negativo, porque es una varianza. Eso significa que la estrategia gana algo incluso si los rendimientos fueran totalmente impredecibles en el tiempo: alcanza con que unas acciones tengan medias más altas que otras. Por eso la evidencia de reversión de largo plazo es tan importante para el debate. Si toda la ganancia viniera de \(\sigma^2_\mu\), las ganadoras tendrían una media permanentemente más alta y seguirían ganando para siempre. Que dos a cinco años después devuelvan parte de lo ganado indica que hay autocovarianza propia: un componente transitorio, consistente con las explicaciones conductuales.

PASO 9La matemática de un crash

Para entender los colapsos hace falta el concepto de beta.

Qué es beta. Mide cuánto se mueve una acción cuando se mueve el mercado. Si el mercado sube 1%, una acción con beta \(\beta\) sube, en promedio, \(\beta\)%. Cada acción tiene su propia beta, que se calcula con sus rendimientos históricos: con \(\beta = 1{,}5\), por ejemplo, sube 15% si el mercado sube 10%.

El modelo de un factor dice que el rendimiento de cada acción es su beta por el mercado más un componente propio \(e_i\), con media cero e independiente del mercado:

\(R^F\) es el rendimiento acumulado durante la ventana de formación \(F\) (los meses \(t-12\) a \(t-2\)). El rendimiento de cada acción se separa en dos pedazos:

• \(\beta_i\,R^F_m\): la parte que viene del mercado. Si el mercado cayó 20% y la acción tiene \(\beta = 1{,}5\), esta parte es \(1{,}5 \times (-20\%) = -30\%\). Le pasa por estar en la bolsa, como a todas.
• \(e_i\): todo lo demás, lo propio de la empresa. Un buen balance, un producto que salió mal, un juicio, un cambio de CEO.

Las acciones se ordenan por \(R^F_i\), que tiene dos partes: \(\beta_i R^F_m\) y \(e_i\). En un año normal, \(R^F_m\) es moderado y el ranking depende sobre todo de \(e_i\), lo que le pasó a cada empresa. Pero si el mercado cayó mucho, por ejemplo \(R^F_m = -40\%\), el término \(\beta_i R^F_m\) pasa a dominar: una acción con \(\beta = 2\) cayó 80% por el mercado y una con \(\beta = 0{,}5\) solo 20%. El ranking termina ordenando por beta. Las perdedoras son las de beta alta y las ganadoras, las de beta baja.

La beta de una cartera es el promedio ponderado de las betas de sus acciones, así que la de WML (Winners Minus Losers) es la beta de las ganadoras menos la de las perdedoras:

Nadie decidió apostar contra el mercado, pero la estrategia quedó apostando contra el mercado. Si al mes siguiente el mercado rebota con un rendimiento grande \(r_m^{+}\), la estrategia pierde aproximadamente:

Con \(\beta_{\mathcal{W}} = 0{,}6\), \(\beta_{\mathcal{L}} = 2{,}0\) y un rebote de 15%, la pérdida es \((0{,}6 - 2{,}0)\times 15\% = -21\%\) en un mes.

Daniel y Moskowitz (2016) agregan un efecto que lo empeora. Después de una crisis, las perdedoras suelen ser empresas muy endeudadas. Merton (1974) mostró que la acción de una empresa endeudada funciona como una opción de compra sobre sus activos: si los activos valen menos que la deuda, la acción vale casi cero, pero si se recuperan, la acción sube mucho más que proporcionalmente. Eso hace que la beta de las perdedoras aumente justo cuando el mercado sube. Lo miden con una regresión donde la beta puede cambiar en mercados bajistas (\(I_B = 1\) si el mercado cayó en los últimos 24 meses) y, dentro de ellos, en los meses de suba (\(I_U = 1\) si el mercado sube ese mes):

Los interruptores prenden o apagan términos, así que en cada situación la beta total es distinta:

• Tiempos normales: \(\beta_0\).
• Después de una caída, si el mercado sigue cayendo: \(\beta_0 + \beta_B\).
• Después de una caída, si el mercado rebota: \(\beta_0 + \beta_B + \beta_{B,U}\).

Qué nos da a entender. Que \(\beta_{B,U}\) salga muy negativo significa que, justo cuando el mercado rebota después de una caída, la estrategia queda apostando fuerte contra el mercado. Cuanto más sube el mercado en ese rebote, más pierde WML. Eso confirma con datos lo que explicamos arriba con el modelo de un factor: después de una caída, las perdedoras son acciones de beta alta, la cartera queda con beta negativa y el rebote la golpea.

PASO 10Escalar por volatilidad: de dónde sale la regla

Si los colapsos son en parte predecibles, se puede reducir la exposición antes de que ocurran. Para decidir cuánto, se usa la teoría de media-varianza. Un inversor elige qué fracción \(w\) de su capital exponer a la estrategia. Le gusta el rendimiento esperado \(w\,\mu_t\) y le disgusta la varianza \(w^2\sigma^2_t\), con un parámetro \(\gamma\) que mide su aversión al riesgo. Maximiza:

Qué es \(\gamma\). Es la aversión al riesgo: cuánto le molesta al inversor la incertidumbre. La función que maximiza tiene dos partes:

Por qué el 2. No es que se divida la aversión al riesgo por algo con significado económico: el \(\frac{1}{2}\) está por comodidad. Al derivar, \(w^2\) da \(2w\), y el \(\frac{1}{2}\) cancela ese 2:

Así la condición de primer orden queda limpia, \(\mu_t - \gamma\,w\,\sigma_t^2 = 0\), y el resultado sale sin un 2 colgando. Si no estuviera el \(\frac{1}{2}\), el óptimo sería \(w^* = \frac{\mu_t}{2\gamma\sigma_t^2}\): la misma conclusión, solo que con \(\gamma\) medido en otra escala.

Es una parábola invertida en \(w\), así que el máximo está donde la derivada vale cero:

Daniel y Moskowitz estiman \(\mu_t\) y \(\sigma_t\) cada mes y usan esa regla completa. Barroso y Santa-Clara (2015) la simplifican: tratan la media como estable y eligen la exposición para que la volatilidad de la estrategia sea siempre un valor objetivo \(\sigma^*\):

Cómo se lee el resultado, línea por línea.

Línea 1: la regla. \(w_t = \frac{\sigma^*}{\hat\sigma_t}\).

• \(\sigma^*\) es la volatilidad que querés tener, elegida de antemano: por ejemplo, 12% anual.
• \(\hat\sigma_t\) es la volatilidad que tuvo la estrategia hace poco, estimada con los últimos 6 meses. El "sombrerito" indica que es una estimación, no el valor verdadero.
• \(w_t\) es la fracción del capital que ponés en la estrategia este mes.

Si la estrategia viene muy volátil, \(\hat\sigma_t\) es grande y \(w_t\) chico: invertís menos. Si viene tranquila, invertís más.

Líneas 2 y 3: la prueba de que la volatilidad queda constante. Lo que se quiere ver es cuánta volatilidad tiene la posición escalada, \(w_t\, r_{WML,t+1}\). Std es la desviación estándar (en inglés, standard deviation): la raíz cuadrada de la varianza, la misma \(\sigma\) del paso 0. En finanzas se la llama volatilidad.

Se usa una propiedad de la desviación estándar: multiplicar una variable por un número positivo multiplica su desviación por ese mismo número.

Sale de la varianza: \(\operatorname{Var}(aX) = a^2\operatorname{Var}(X)\), y sacando raíz, \(\operatorname{Std}(aX) = a\operatorname{Std}(X)\). Como \(w_t\) se decide antes de que empiece el mes, es un número fijo, y queda \(\operatorname{Std}(w_t\, r_{WML,t+1}) = w_t\,\sigma_t\), donde \(\sigma_t\) es la volatilidad verdadera de la estrategia ese mes. Reemplazando \(w_t\) por la regla, \(w_t\,\sigma_t = \frac{\sigma^*}{\hat\sigma_t}\,\sigma_t \approx \sigma^*\). Si la estimación es buena, \(\hat\sigma_t \approx \sigma_t\), los dos se cancelan y queda \(\sigma^*\): la posición tiene la volatilidad que querías.

Con números, con \(\sigma^* = 12\%\):

Siempre da 12%. La estrategia no cambia, cambia cuánto se invierte en ella, y eso compensa los vaivenes de la volatilidad.

El "\(\approx\)" es honesto: si la volatilidad cambia de golpe, la estimación de los últimos 6 meses llega tarde, y ese mes la volatilidad real no es exactamente \(\sigma^*\). Por eso la regla reduce los crashes pero no los elimina del todo.

Cómo se estima \(\hat\sigma_t\). Con los rendimientos diarios de los últimos seis meses:

Cada número tiene un motivo:

• 126: seis meses tienen unas 126 ruedas de operación, así que \(\frac{1}{126}\sum r^2\) es la varianza diaria promedio.
• 21: un mes tiene unas 21 ruedas. Si los rendimientos diarios no están correlacionados, la varianza de una suma es la suma de las varianzas, porque todas las covarianzas cruzadas valen cero: \(\operatorname{Var}\left(\sum_{d=1}^{21} r_d\right) = 21\,\sigma_d^2\). Multiplicar por 21 pasa de varianza diaria a mensual.
• \(r^2\) en lugar de \((r - \bar r)^2\): por la identidad del paso 0, \(\operatorname{Var}(r) = E[r^2] - E[r]^2\). La media diaria es tan chica (centésimas de punto) que \(E[r]^2\) es despreciable.
• \(\sqrt{12}\): por el mismo argumento, la varianza anual es 12 veces la mensual, así que la volatilidad anual es \(\sqrt{12}\) veces la mensual. Un objetivo de 12% anual equivale a \(12\%/\sqrt{12} \approx 3{,}46\%\) mensual.

¿Por qué mejora el ratio de Sharpe, \(S = \mu/\sigma\), el rendimiento por unidad de riesgo? Si la volatilidad no dijera nada sobre el rendimiento futuro, escalar solo cambiaría el tamaño de la apuesta y \(S\) quedaría igual. Pero en el momentum la volatilidad alta anticipa rendimientos bajos (son los estados de pánico del paso 9). La regla achica la posición justo cuando \(\mu_t\) es peor y la agranda cuando es mejor, así que mejora el rendimiento promedio por unidad de riesgo. Barroso y Santa-Clara encontraron que casi duplica el Sharpe.

PASO 11La versión de series temporales

Todo lo anterior es momentum transversal: una acción se compra si le fue mejor que a las demás. Moskowitz, Ooi y Pedersen (2012) estudiaron otra versión, que compara cada activo con cero. Si el activo \(s\) subió en los últimos 12 meses, se compra; si bajó, se vende:

La fórmula es el producto de tres partes:

1. \(\operatorname{sign}(r_{s,\,t-12:t})\): la dirección. \(r_{s,\,t-12:t}\) es cuánto rindió el activo \(s\) en los últimos 12 meses, y \(\operatorname{sign}\) solo se queda con el signo:

• Si subió, vale \(+1\): se compra.
• Si bajó, vale \(-1\): se vende en corto.

No importa cuánto subió, solo si subió o bajó.

2. \(\frac{40\%}{\sigma_{s,t}}\): el tamaño. Es la misma idea del paso 10: escalar la posición por la volatilidad del activo, para que todos aporten un riesgo parecido. Un activo muy volátil recibe una posición chica, y uno tranquilo, una grande. Sin esto, los activos más volátiles, como el petróleo, dominarían la cartera frente a los más tranquilos, como un bono. Moskowitz, Ooi y Pedersen eligieron 40% por activo porque, combinando muchos activos, la cartera total queda con una volatilidad de alrededor de 12% anual. \(\sigma_{s,t}\) es la volatilidad anualizada del activo, estimada antes del mes \(t+1\) con un promedio que da más peso a los días recientes.

3. \(r_{s,t+1}\): lo que rinde el activo el mes siguiente. Es lo que se gana o se pierde, multiplicado por la dirección y el tamaño.

Ejemplo. Un activo con volatilidad de 20%, así que el tamaño es \(40\%/20\% = 2\):

La diferencia de fondo está en la referencia. En el momentum transversal, si todo el mercado cae, igual se compran las acciones que cayeron menos. En el de series temporales, si todo cae, se vende todo. Por eso este último tiende a ganar en caídas largas del mercado, mientras que el transversal sufre en los rebotes.

¿Funciona de verdad? 200 años de evidencia

Sí. El momentum aparece en el período en que se descubrió, en las décadas posteriores y también en datos del siglo XIX que nadie había analizado.

Jegadeesh y Titman (1993) mostraron que entre 1965 y 1989 las ganadoras superaban a las perdedoras por alrededor de 1% mensual. Carhart (1997) lo convirtió en un factor estándar y probó que buena parte de lo que parecía talento de los gestores de fondos era, en realidad, exposición a momentum. Además, el momentum carga poco de los riesgos conocidos (el mercado, el tamaño y el valor): casi toda su ganancia queda sin explicar por ellos, y por eso se lo considera una anomalía y no riesgo disfrazado.

La prueba más fuerte vino después. Geczy y Samonov reconstruyeron precios mensuales de acciones de EE.UU. desde 1801 y encontraron la prima también ahí, aunque más chica.

Ese último dato importa. Las rachas largas de bajo rendimiento no son una señal de que el momentum "dejó de funcionar": son parte normal de la estrategia desde hace dos siglos.

Tipos de momentum: no hay uno solo

La literatura encontró varias formas de medir el momentum, y algunas compiten con la versión clásica para explicar el mismo fenómeno.

¿Por qué existe el momentum?

No hay consenso. Las explicaciones conductuales dominan, pero ninguna teoría explica todos los hechos a la vez.

Un dato juega a favor de la versión conductual: entre dos y cinco años después, parte de la ganancia se revierte. Si el momentum fuera solo un premio por riesgo, no tendría por qué devolverse.

¿Cuándo falla? Los momentum crashes

El momentum pierde fuerte, y de golpe, cuando el mercado rebota después de una caída profunda. Los peores episodios en EE.UU. fueron 1932 y 2009.

Daniel y Moskowitz (2016) mostraron que estos colapsos no son aleatorios: ocurren en "estados de pánico", con el mercado en caída y volatilidad alta. El mecanismo es casi mecánico.

Cómo se reduce el riesgo

Barroso y Santa-Clara (2015) propusieron algo simple: achicar la posición cuando la volatilidad reciente de la estrategia sube, y agrandarla cuando baja. Con eso casi eliminaron los colapsos y casi duplicaron el ratio de Sharpe. Daniel y Moskowitz fueron un paso más allá: pronosticaron también el rendimiento esperado y duplicaron aproximadamente el alfa.

La derivación de ambas reglas está en los pasos 9 y 10 de la sección matemática.

¿Se puede aplicar en el S&P 500?

Sí, y sin vender en corto: alrededor de la mitad de la prima viene de comprar ganadoras, y la prima no depende de forma confiable del tamaño de la empresa.

Esto lo mostraron Israel y Moskowitz (2013) con 86 años de datos. El contraste con otros factores es claro:

Hay una tensión en la literatura: Fama y French (2012) y Hong, Lim y Stein (2000) encuentran que la prima se achica en acciones grandes. Para un inversor en el S&P 500, lo razonable es esperar el efecto, pero más chico.

Costos de transacción

Los rendimientos de los papers suponen que comprás y vendés exactamente al precio de cierre, sin pagar nada. En la realidad, cada operación tiene costos:

• Comisiones que cobra el broker.
• El spread: comprás al precio vendedor (ask) y vendés al comprador (bid), que es más bajo. Es el mismo \(c\) del paso 6, visto como costo.
• Impacto en el precio: si comprás mucho de una acción, tu propia compra empuja el precio hacia arriba antes de que termines.
• Costo de vender en corto: hay que pagar por pedir prestadas las acciones.

Que una estrategia "sobreviva a los costos" significa que, después de restarlos, le sigue quedando ganancia. La cuenta depende de cuánto se opera. La rotación es la fracción de la cartera que se cambia cada mes:

Un ejemplo ilustrativo, con números redondos: si la estrategia rinde 1% mensual bruto y cambia 60% de la cartera por mes, con un costo de 0,5% por operación pierde \(0{,}6 \times 0{,}5\% = 0{,}3\%\) y le queda 0,7% neto. Si opera acciones chicas y poco líquidas, con un costo de 1,5%, pierde 0,9% y le queda apenas 0,1%. El momentum es especialmente sensible porque rota mucho: cada mes cambia buena parte de las ganadoras y perdedoras.

Por eso los costos son el obstáculo práctico principal. Los primeros estudios, como Lesmond, Schill y Zhou (2004), concluían que los costos se comían toda la ganancia. Con USD 1,7 billones en operaciones reales de un gestor institucional, Frazzini, Israel y Moskowitz (2018) encontraron costos un orden de magnitud menores a lo estimado, y el momentum sobrevive incluso a escala. Para un inversor minorista los costos pesan más, pero operar solo acciones muy líquidas los reduce.

¿La prima desapareció después de publicarse?

En parte. Es el patrón de casi todas las anomalías conocidas:

¿Es el momentum un factor propio?

Quizás no. Una hipótesis reciente dice que el momentum de acciones es, en buena parte, momentum de otros factores.

Ehsani y Linnainmaa (2022) observaron que casi todos los factores conocidos (value, tamaño, rentabilidad) tienen inercia propia: si rindieron bien el último año, tienden a seguir rindiendo bien.

Si tienen razón, el momentum no sería un riesgo en sí mismo sino una forma de subirse a los factores que vienen ganando. El debate sigue abierto.

Qué me llevo de todo esto

1. El efecto es real. Aparece en 212 años de datos y resistió tres décadas de escrutinio académico.
2. El riesgo es asimétrico. Gana de a poco y pierde de golpe, sobre todo en rebotes después de crisis. Controlar la volatilidad ayuda mucho.
3. Es aplicable en acciones grandes, incluso sin vender en corto, pero hay que esperar una prima menor que la de los papers.

Para alguien que invierte en el S&P 500, la lectura práctica es moderada: una inclinación hacia las acciones con mejor rendimiento del último año, con rebalanceo poco frecuente y control de volatilidad, es coherente con la evidencia. Esperar que replique los resultados de una cartera académica larga-corta, no.

Preguntas frecuentes

Fuentes

• Jegadeesh, N. y Titman, S. (1993). Returns to buying winners and selling losers. The Journal of Finance, 48(1), 65–91.
• Carhart, M. (1997). On persistence in mutual fund performance. The Journal of Finance, 52(1), 57–82.
• Geczy, C. y Samonov, M. (2016). Two centuries of price-return momentum. Financial Analysts Journal, 72(5).
• Daniel, K. y Moskowitz, T. (2016). Momentum crashes. Journal of Financial Economics, 122(2), 221–247.
• Barroso, P. y Santa-Clara, P. (2015). Momentum has its moments. Journal of Financial Economics, 116(1), 111–120.
• Israel, R. y Moskowitz, T. (2013). The role of shorting, firm size, and time on market anomalies. Journal of Financial Economics, 108(2), 275–301.
• Frazzini, A., Israel, R. y Moskowitz, T. (2018). Trading costs. SSRN.
• McLean, R. D. y Pontiff, J. (2016). Does academic research destroy stock return predictability? The Journal of Finance, 71(1), 5–32.
• Ehsani, S. y Linnainmaa, J. (2022). Factor momentum and the momentum factor. The Journal of Finance, 77(3), 1877–1919.
• Roll, R. (1984). A simple implicit measure of the effective bid-ask spread in an efficient market. The Journal of Finance, 39(4), 1127–1139.
• Jegadeesh, N. (1990). Evidence of predictable behavior of security returns. The Journal of Finance, 45(3), 881–898.
• De Bondt, W. y Thaler, R. (1985). Does the stock market overreact? The Journal of Finance, 40(3), 793–805.
• Lehmann, B. (1990). Fads, martingales, and market efficiency. The Quarterly Journal of Economics, 105(1), 1–28.
• Merton, R. (1974). On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates. The Journal of Finance, 29(2), 449–470.
• Jensen, M. C. (1968). The performance of mutual funds in the period 1945–1964. The Journal of Finance, 23(2), 389–416.
• Lo, A. y MacKinlay, A. C. (1990). When are contrarian profits due to stock market overreaction? The Review of Financial Studies, 3(2), 175–205.
• Moskowitz, T., Ooi, Y. H. y Pedersen, L. H. (2012). Time series momentum. Journal of Financial Economics, 104(2), 228–250.

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